Formula de interpolación

Supongamos que conocemos N+1 puntos (x0,y0), (x1,y1), ..., (xN, yN), de la curva y = f(x), donde las abscisas xk se distribuyen en un intervalo [a ,b] de manera que 

Construiremos un polinomio P(x) de grado N que pase por estos N+1 puntos. El polinomio P(x) puede luego usarse como una aproximación a f(x) en todo el intervalo [a,b]; no obstante, si queremos conocer la función de error E(x) = f(x) ñ P(x), entonces sÌ necesitaremos conocer f (N+1)(x) o bien una cota de su tamaño como 

Existen funciones especiales y = f(x), que aparecen en análisis estadísticos o científicos, para las que solo se dispone de una tabla de valores; es decir, solo conocemos N+1 puntos (xk,yk) y es necesario un método para aproximar f(x) en abscisas que no están tabuladas. Si el error de los valores tabulados es significativo, entonces es mejor usar los métodos de aproximación. Si, por el contrario, los puntos (xk, yk) tienen un grado alto de precisión, entonces podemos considerar el polinomio y = P(x) que pasa por todos ellos como una buena aproximadamente de f (x). 

Cuando x0 < x < xN, la aproximación P(x) se conoce como valor interpolado; si se tiene x < x0 o bien x > xN, entonces P(x) se conoce como valor extrapolado. Los polinomios se utilizan para desear algoritmos de aproximación de funciones, para derivar e integrar numéricamente y para dibujar, utilizando un ordenador, curvas que deben pasar por puntos especificados de antemano.

 Dados N+1 puntos x0, x1, ..., xN pertenecientes al intervalo [a, b], el polinomio de interpolación de grado menor o igual que N que pasa por esos puntos es único. Recordemos brevemente que la forma eficiente de evaluar un polinomio P(x): 

Metodo de Horner

Interpolación lineal

La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.

El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:

(x_o, y_o), (x₁, y₁),........., (x_n, y_n)

 Se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x₀ y x_n) de esta función.

La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando se tomen tres.

Interpolación lineal

Cuando las variaciones de la función son proporcionales (o casi proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha función es lineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal…

Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y, para un valor x tal que x0<x<x1. 

 Obtenemos la fórmula de la interpolación lineal.

Referencia 

[1]	G. J. Camereas , «Numerictron,» 15 06 2018. [En línea]. Available: https://sites.google.com/site/numerictron/unidad-4/4-1-interpolacion-lineal-y-cuadratica. [Último acceso: 31 05 2021].
[2]	A. Moreno, «Introducci´on a la interpolaci´on y a la integración númerica,» 23 07 2016. [En línea]. Available: http://departamento.us.es/edan/php/asig/LICMAT/LMCN1/Tema3CN10809.pdf. [Último acceso: 30 05 2121].